Stabilitätsanalyse
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engl: stability analysis Kategorie: 
Level 2 Theorie Mechanik
Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia:numerische_Stabilität und weiter Stabilitätstheorie in der technischen Mechanik.
Eine Stabilitätsanalyse ist die Simulation eines Bauteils mit dem Ziel, Grenztragfähigkeits-Zustände und die dabei auftretenden Randbedingungen (Lagerungen und Lasten) zu bestimmen.
Bei einem mechanischen Bauteil, das flächig und dünnwandig gestaltet ist, ist das Ziel der Stabilitätsanalyse die Berechnung der Grenze zum Beulen. Bei schlanken dünnen Bauteilen wird von Knicken gesprochen.
Bauteilstabilität ist für Simulationen der Strukturmechanik maßgebend.
Inhaltsverzeichnis |
Simulation
Die Stabilitätsanalyse kann als elastische Beulanalyse oder als nichtlineare Stabilitätsanalyse mit Geometrienichtlinearität durchgeführt werden.
Beulanalyse
Bei der elastischen Beulanalyse werden Zahlenwerte und Eigenschaften des Bauteils im Ausgangszustand numerisch untersucht. Das Ergebnis ist eine Grenzlast als theoretischer Grenzwert der Stabilität. In der Abbildung rechts, unteres Teilbild (b), ist der durchgezogene spitze Verlauf hierfür typisch. Das Ergebnis der Beulanalyse ist die maximale Kraft an der Spitze der Funktionsverlaufes.
Nichtlineare Stabilitätsanalyse
Die Stabilitätsanalyse kann auch schrittweise das Bauteilverhalten unter Berücksichtigung der Nichtlinearitäten simulieren. Auf diese Weise können realitätsnahe Bauteileigenschaften abgebildet werden. In der Abbildung rechts, unteres Teilbild (b), ist der gestrichelt gezeichnete abgerundete Verlauf hierfür typisch. Das Ergebnis der Analyse ist die maximale Kraft des abgerundeten Funktionsverlaufes. Durch eine geeignete Idealisierung kann auch beliebig genau das Bauteilverhalten über Grenztragfähigkeit hinaus (Nachbeulverhalten) berechnet werden. Dies ist in der Abbildung rechts im rechten Teilbild skizziert.
Eine nichtlineare Stabilitätsanalyse ist eine statische Simulation der Strukturmechanik mit Geometrienichtlinearitäten (mindestens mit großen Verdrehungen), die bis zu dem Punkt ausgeführt wird, bei dem die Struktur versagt. Andere Nichtlinearitäten, wie z.B. Plastizität können in der Analyse berücksichtigt werden. Damit können alle geometrischen oder strukturellen Imperfektionen, die das Tragverhalten des Bauteils beeinflussen, berücksichtigt werden. Die Nichtlinearitäten resultieren daraus, dass die Auswirkungen der Imperfektionen beim Auftreten von Verschiebungen und Spannungen im Bauteil noch zunehmen (oder manchmal abnehmen). Deswegen muss in Schritten nachverfolgt werden, wie sich unter zunächst geringen Lasten die Verschiebungen und Spannungen einstellen, der Einfluss der Imperfektionen wird entsprechend neu beurteilt und eine etwas gesteigerte Last untersucht. Die Laststeigerung wird fortgesetzt, bis zu erkennen ist, dass das Bauteil versagt (erkennbar an sehr großen Verformungen oder daran, dass die numerische Lösung keine Konvergenz mehr erreicht). In diesem Zustand kann das Bauteil keine höhere Last aufnehmen oder tragen, selbst wenn die Materialfestigkeit noch nicht erreicht ist.
Manche Bauteile können Eigenschaften aufweisen, die als "snap through" (Durchschlagproblem, "Knackfrosch"-Verhalten) bezeichnet werden, oder andere unsymmetrische oder symmetrische Charakteristiken haben. In der Abbildung rechts sind einige prinzipielle Beispiele von solchen Charakteristiken gezeigt.
Vorsicht ist geboten bei Konstruktionen, bei denen mehrere Versagensformen (Moden) auftreten können. Ein Beispiel dafür ist ein dünnwandiger Kreiszylinder unter Axiallast. In diesem Fall kann durch die vom Anwender aufgebrachte Imperfektion eine Versagensform (zum Beispiel eine Wellenanzahl in Umfangsrichtung) bereits vorbestimmt sein, so dass das Ergebnis von dieser Vorgabe des Anwenders beeinflusst wird. In solchen Fällen ist eine sorgfältige Beurteilung der einzelnen Effekte und der Ergebnisse erforderlich. Auch eine Kombination von nichtlinearen Stabilitätsanalysen und Eigenwertbeulanalysen kann hierbei sinnvoll sein.
Der grundlegende Ansatz bei einer nichtlinearen Stabilitätsanalyse ist die Steigerung der Lasten mit konstanten Inkrementen, bis die Lösung zu divergieren beginnt. Stellen Sie sicher, dass das Lastinkrement ausreichend klein ist, wenn sich die Lasten der erwarteten kritischen Last nähern. Ist das Lastinkrement zu groß, dann kann die ermittelte Last zu ungenau sein. Bisectionen und automatische Einstellung der Lastinkremente (meistens über die Zeitschrittweite als Hilfsgröße verwirklicht) sollten aktiviert werden.
Hinweise zu den Lösungsmethoden:
- Newton-Raphson-Verfahren für Belastung durch Kraft, kein Nachbeulen lösbar, Stellen mit Steifigkeit Null nicht erfassbar,
- Newton-Raphson-Verfahren für Belastung durch Verschiebung, Nachbeulen lösbar, Verschiebungsniveau muss eindeutig einem Kraftniveau zugeordnet werden können,
- Arc-length-Methode (Bogenlängenverfahren) für Belastung durch Kraft oder auch Belastung durch Verschiebung, Nachbeulen lösbar, Konvergenzprobleme können auftreten, wenn der Gleichgewichtspfad nicht glatt ist.
Tips und Tricks
Konvergenz
Es ist wichtig zu beachten, dass eine nichtkonvergierte Lösung nicht unbedingt bedeutet, dass die Struktur ausgebeult ist. Dies kann ebenso auf numerische Instabilität zurückzuführen sein, die durch eine Verbesserung der Diskretisierung umgangen werden kann. Das Verfolgen des Last-Verschiebungsverlaufs Ihrer Strukturantwort kann bei der Entscheidung helfen, ob es sich bei einem nicht konvergierten Lastschritt tatsächlich um eine Stabilitätsgrenze handelt oder ob eine andere Ursache vorliegt. Eine vorher durchgeführte Analyse mit dem Bogenlängenverfahren kann einen Anhaltspunkt der Beullast ergeben. Dieses Ergebnis kann dann mit dem genaueren Ergebnis der Bisection verglichen werden und damit beurteilt werden, ob tatsächlich die maßgebende Last für das Bauteil gefunden wurde.
Begleitende Eigenwertanalyse
Es gibt Probleme, bei denen Durchschlagen und Verzweigen gleichsam auftreten können. Ein bekanntes Problem ist das „Von-Mises-Fachwerk“. Dabei können die Stäbe vor dem Durchschlagen bereits Ausknicken.
Hier hilft oft eine begleitende Eigenwertbeul-Analyse. Dabei wird parallel zur nichtlinearen Rechnung der Eigenwert der jeweils aktuellen Steifigkeitsmatrix berechnet. Dies ist dann die Lösung der Gleichung
Liegt ein Null-Eigenwert vor, so ist man am Verzweigungspunkt angekommen (singulärer Punkt).
Beispiele
Durchschlagproblem
Die Abbildung rechts mit der Überschrift "Durchschlagproblem am perfekten System" zeigt ein Durchschlagproblem. Das Bauteil kann man sich als die Decke eines Tunnels oder eines Gewölbes vorstellen. Dieses kuppelförmige Bauteil wird von außen mit einem Druck belastet. Beide Enden des Bogens sind fest eingespannt.
Wenn der Druck langsam gesteigert wird, zeigt sich zunächst eine Abplattung des Bogens. Die Last wird im wesentlichen durch eine Druckspannung im Bogen aufgenommen und zum Auflager übertragen wird. Bei einer bestimmten Größe der Drucklast gibt es einen Durchschlag. Danach kann wieder die Last erhöht werden, wobei dann die Last im wesentlichen durch Zugspannung im Bogen aufgenommen und zum Auflager übertragen wird.
Das Diagramm zeigt den Druck, aufgetragen über der vertikalen Verschiebung in der Mitte. Die Druck-Last, bei der der Durchschlag erfolgt, - das ist der 1. Scheitelpunkt des Kurvenverlaufes - ist die Durchschlaglast. Der Kurvenverlauf, der nach dem Minimum einen Wiederanstieg des Druckes darstellt, wird als das Nachbeulverhalten bezeichnet.
Die Abbildung rechts mit der Überschrift "Durchschlagproblem am imperfekten System" zeigt ein vergleichbares Durchschlagproblem. Gegenüber der Variante vorher ist hier das Bauteil aber ganz geringfügig imperfekt geformt. Während also vorher das Bauteil die perfekte Form eines Bogens mit genau gleichbleibender Breite hatte, ist hier nun der Bogen geringfügig unrund mit einer ganz geringen Änderung der Breite. Die Imperfektion ist nicht zu erkennen, die hat die Größenordnung der Strichstärke der Abbildung.
Auch wenn diese Imperfektion gering ist, hat sie einen deutlichen Einfluss auf die Stabilität des Bauteils. Die Stabilitätsanalyse hierfür zeigt in dem Diagramm des Druckes über der vertikalen Verschiebung eine deutlich verringerte Durchschlaglast. Das Minimum der Kurve sowie das Nachbeulverhalten werden dagegen nicht beeinflusst.
Tellerfeder
Eine Tellerfeder ist ein Bauteil des technischen Alltages, das ein entsprechendes Verhalten zeigt. Hier rechts in der Abbildung ist eine Tellerfeder gezeigt. Das FEM-Modell stellt einen radialen Schnitt durch die Tellerfeder dar. Dieser Schnitt - ein schmales schräggestelltes Rechteck - ist mit axisymmetrischen ebenen Elementen diskretisiert. Hierfür wurde eine Stabilitätsanalyse mit linear-elastischen Materialdaten durchgeführt. Die farbige Darstellung rechts zeigt die verformte Tellerfeder. Das Kraft-Verschiebungs-Diagramm zeigt einen Verlauf mit einem Anstieg bis zur Durchschlagskraft, einem Minimum und anschließend einem Nachbeulverhalten.
In der Praxis wird eine solche Tellerfeder nur "auf Anschlag" belastet, also nicht über den Durchschlagpunkt hinweg.
Eine Tellerfeder ist ein Bauteil, dessen Tragvermögen wesentlich auf den Umfangsspannungen beruht. In der FEM-Simulation ist das Modell als ebener Querschnitt in der radialen (X) und axialen (Y) Ebene skizziert. Der hier verwendete Element-Typ - ein ebenes Element mit Axisymmetrie - sieht als Freiheitsgrade die Verschiebungen in radialer (UX) und axialer (UY) Richtung vor. Dehnungen und Spannungen können in diesen Richtungen, aber zusätzlich auch in der Ebene normal zum Modell auftreten. Die Umfangsspannung ist hier bei der Tellerfeder sehr wichtig.
Sonstige Begriffe
Hinweis: In Fachkreisen wird zum Teil eine nichtlineare Stabilitätsanalyse als die Lösung des nichtlinearen (quadratischen) Eigenwertproblems verstanden. Dies ist hier nicht vorgesehen.
