Koordinatensystem
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engl: coordinate system Kategorie: 
Level 1
Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia: Koordinatensystem
Inhaltsverzeichnis |
Unterschiedliche Typen von Koordinatensystemen
Die Koordinatensysteme, die im Bereich der Simulation oft auftreten, sind orthogonal. Das heißt, dass an jedem Punkt die Achsen zueinander orthogonal (senkrecht) stehen. Denken Sie an die rechte-Hand-Regel!
Die folgenden Hinweise gehen von einem 3-dimensionalen Fall aus. Die Reduktion bei 2-dimensionalen Fällen ist relativ einfach und wird durch "2-d" gekennzeichnet.
In einem kartesischen Koordinatensystem ist jede Position durch drei Längen beschrieben. Diese Längen stellen die Positionen auf der x-, y- und z-Achse dar (2-d: zwei Achsen x,y). Die Achsen sind gerade (geradlinig orthogonal).
In einem zylindrischen Koordinatensystem (auch ebene Polarkoordinaten oder Zylinderkoordinaten genannt) ist jede Position durch zwei Längen und einen Winkel beschrieben. Eine Länge stellt den Radius r, also den Abstand vom Zentrum dar, ein Winkel φ legt die Umfangsposition um das Zentrum fest und eine weitere Länge z stellt die Position auf der z-Achse (axial) dar (2-d: Radius r und Winkel φ). Die x-Achse zeigt damit radial nach außen, die y-Achse beschreibt Kreislinien, und die z-Achse ist parallel zur Achse des Koordinatensystems. Es ist krummlinig orthogonal.
In einem sphärischen Koordinatensystem (auch räumliche oder sphärische Polarkoordinaten oder Kugelkoordinaten genannt) ist jede Position durch eine Länge (Radius) und zwei Winkel beschrieben.
Relativ selten werden toroidale Koordinaten (Toruskoordinaten) verwendet. Hierbei ist ein zusätzlicher Parameter notwendig, der als Radius einer kreisförmigen Mittellinie verwendet wird. Die drei Koordinaten, die zur Beschreibung einer Position verwendet werden, sind eine Länge (als Radius gegenüber dieser Kreislinie zu verstehen) und zwei Winkel.
Simulation
Koordinatensysteme spielen in der Simulation eine große Rolle. Das betrifft
- die Idealisierung und Diskretisierung, mit der die Elemente und Knoten des FEM-Modells erzeugt werden,
- die Festlegung von Materialeigenschaften und
- die Festlegung von Randbedingungen und Lasten,
- die Lösung des Gleichungssystems und
- die Auswertung.
Koordinatensysteme bei der Idealisierung und Diskretisierung
Das FEM-Simulationsmodell kann durch viele unterschiedliche Methoden (CAD, Generierung, STL-Daten, ...) auf dem Computer erzeugt werden. Für die Simulation maßgebend ist das Ergebnis, das nach der Diskretisierung als Knoten und Elemente vorhanden ist. Die Knoten bestimmen die Geometrie des Modells, sie müssen an die richtige Stelle im Raum positioniert werden. Die Elemente sind eigentlich für die Geometrie des Simulationsmodells unerheblich, sie sorgen mit den Zahlenwerten der Steifigkeitsmatrix dafür, dass eine Verbindung zwischen den Knoten - genauer: zwischen den Freiheitsgraden der Knoten - hergestellt wird.
Mit der Positionierung der Knoten im Raum ist also die Rolle der bei der Idealisierung und Diskretisierung verwendeten Koordinatensysteme beendet.
Aber: in manchen Fällen müssen noch Koordinatensysteme im Simulationsmodell eingebracht werden.
Dazu zählen Elementeigenschaften wie zum Beispiel Materialrichtungen, die geometrisch festgelegt werden müssen. Solche anisotropen (oft orthotropen) Eigenschaften von inhomogenen Materialien (wie faserverstärkte Werkstoffe, Sandwich-Bauteile, biologische Materialien) müssen dem jeweiligen Element zugeordnet werden. Dazu werden zusätzlich zu den entsprechenden Zahlenwerten der Materialdaten noch Richtungswinkel in Bezug auf das globale Ausgangs-Koordinatensystem festgelegt. Das maßgebende Koordinatensystem wird oft Element-Koordinatensystem (element coordinate system) genannt. Es ist dem Element zugeordnet. Sein Ursprung liegt im Element, aber eigentlich sind nur die Richtungen der Achsen - also die Drehwinkel gegenüber dem globalen Ausgangs-Koordinatensystem - wichtig. Die Materialeigenschaften werden durch Koordinatentransformationen so umgerechnet, dass sie auf die Richtung der Freiheitsgrade abgestimmt sind, und dann in die Gesamtsteifigkeitsmatrix eingesetzt.
Auch für die Knoten kann es erforderlich sein, besondere Eigenschaften durch Knoten-Koordinatensysteme zu berücksichtigen. Dazu finden Sie im nächsten Absatz einige Hinweise.
Koordinatensysteme bei der Festlegung von Randbedingungen und Lasten
Koordinatensysteme bei der Festlegung von Randbedingungen und Lasten spielen bei solchen Anwendungen eine Rolle, bei denen die Freiheitsgrade vektorielle Größen sind. Das ist der Fall bei der Strukturmechanik (Verschiebungen, manchmal zusätzlich Verdrehungen), bei manchen Magnetfeld-Simulationen (Vektorpotential) oder bei CFD (Geschwindigkeiten). Dies ist jedoch nicht der Fall bei Anwendungen, bei denen die Freiheitsgrade skalare Größen sind (zum Beispiel Temperatur beim Temperaturfeld).
Bei vektoriellen Freiheitsgraden sind oft die Randbedingungen und Lasten nicht genau in Richtung der Achsen des globalen Ausgangs-Koordinatensystems festzulegen. Wenn die Lasten gedreht sind, kann dies durch eine Aufteilung in Komponenten leicht berücksichtigt werden.
Schwieriger ist es, wenn Randbedingungen gegenüber dem globalen Ausgangs-Koordinatensystem gedreht aufzubringen sind. Das typische Beispiel hierfür ist in der Strukturmechanik eine schräge Ebene, die als Auflieger wirkt. Das Festhalten einer Verschiebungs-Komponente ist nicht richtig, es müssten zwei (oder gar drei) Verschiebungs-Richtungen gleichzeitig, aber nur teilweise festgehalten werden. Aber: eine anteilige Festhaltung gibt es nicht ("entweder ganz oder gar nicht"). In einem solchen Fall müssen für die Knoten, an denen diese Randbedingung wirken soll, die Richtungen der Verschiebungen gedreht werden. Diese Knoten bekommen damit ihre individuellen und nur ihnen zugeordneten Freiheitsgrad-Richtungen, die Knoten-Koordinatensystem (nodales Koordinatensystem, nodal coordinate system) genannt werden. Ein Knoten-Koordinatensystem hat seinen Ursprung im Knoten und bestimmt durch seine Achsenrichtungen die Richtung der Freiheitsgrade an diesem Knoten.
Koordinatensysteme bei der Lösung
Für das Gesamtgleichungssystem wird die Gesamtsteifigkeitsmatrix verwendet. Für die Einträge in dieser Matrix (also die Zahlenwerte auf den Zeilen und Spalten), die den Komponenten der Freiheitsgrade zugeordnet sind, muss ein einheitliches Koordinatensystem zugrunde liegen. Nur dann sind die arithmetischen Operationen sinnvoll auszuführen. Im allgemeinen wird dafür das globale Ausgangs-Koordinatensystem verwendet. Es wird auch als Lösungs-Koordinatensystem (solution coordinate system) bezeichnet.
Koordinatensysteme bei der Auswertung
Bei der Auswertung der Ergebnisse kann eine Umrechnung der Resultate vom globalen Ausgangs-Koordinatensystem (das bei der Lösung zugrunde lag) in ein Resultat-Koordinatensystem (result coordinate system) sinnvoll sein. Denken Sie zum Beispiel an zylindrische Behälter (Kesselformel), bei denen Umfangsspannung, Längsspannung und Radialspannung interessieren.
Selbststudium
Die Verwendung von verschiedenen Koordinatensystemen bei der Erstellung der Elementsteifigkeitsmatrix und der Gesamtsteifigkeitsmatrix beschreibt eine Folge "Steifigkeitsmatrizen und Koordinatensysteme" an einem Beispiel.
