Reduktions-Lösungsverfahren
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: reduction solution method Kategorie: 
Theorie Methoden Level 3
Ein Reduktions-Lösungsverfahren wird manchmal für die Lösung dynamischer Aufgaben wie
- Eigenfrequenzbestimmung (Modalanalyse),
- lineare, dynamische Untersuchungen und
- Frequenzganganalysen
und bei der
angewendet. Dies wird auch Kondensation genannt.
Grundlagen
Bei diesem Verfahren werden in
- Schritt 1 (Reduktion) alle Matrizen und Vektoren des Gesamtmodells auf kleinere Matrizen und Vektoren umgerechnet, die weitgehend oder sogar genau die Eigenschaften des Gesamtmodells repräsentieren.
- In Schritt 2 (Lösung) wird die Lösung des Gleichungssystems durchgeführt, wobei der numerische Aufwand geringer ist, da mit den kleineren reduzierten Matrizen und Vektoren gearbeitet wird.
- In Schritt 3 (Expansion) werden die Ergebnisse des reduzierten Gleichungssystems wieder auf das Gesamtsystem rückgerechnet (dies ist das Gegenteil der Reduktion, die Lösung wird expandiert).
Durch das Reduktions-Lösungsverfahren werden zusätzlich zur Gleichungslösung (Schritt 2) vorher der Reduktionsschritt (Schritt 1) und anschließend der Expansionsschritt (Schritt 3) ausgeführt. In vielen Fällen zahlt sich dieser Zusatzaufwand aber aus, wenn der Lösungsschritt sonst sehr viel mehr Rechenaufwand erfordert hätte.
Die Reduktion wird hier an einem Beispiel einer dynamischen Simulation der Strukturmechanik gezeigt. Bei einer solchen Berechnung ist folgende Gleichung zu lösen:
Dabei wird das Gleichungssystem von n Freiheitsgraden (das sind alle Freiheitsgrade, die das Gesamtmodell enthält) auf ein kleines System mit nur m Hauptfreiheitsgraden (das sind die für das dynamische Verhalten maßgebenden Freiheitsgrade, master degrees of freedom, MDOF) überführt. Der Verschiebungsvektor {u} wird dazu unter Verwendung einer Transformationsmatrix [T] auf den Verschiebungsvektor der Hauptfreiheitsgrade {um} reduziert.
Wenn diese Gleichung in die darüber genannte Gleichung eingesetzt wird und mit der transponierten Matrix [T]T multipliziert wird, ergibt sich
Daraus erhält man mit
das reduzierte Gleichungssystem für die Hauptfreiheitsgrade. Für dieses reduzierte Gleichungssystem ist die Lösung zu berechnen über
Damit sind die erforderlichen Schritte erkennbar.
Zur Lösung des Gleichungssystems ist also
- im Reduktions-Schritt (Schritt 1) die Reduktion des Gleichungssystems auf Hauptfreiheitsgrade auszuführen,
- im Lösungs-Schritt (Schritt 2) die Lösung des reduzierten Gleichungssystems zu berechnen und
- im Expansions-Schritt (Schritt 3) die Lösung der Hauptfreiheitsgrade (master degree of freedom, MDOF) auf alle Freiheitsgrade mit der Transformationsmatrix zu expandieren.
