Lagrange-Multiplikator
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: Lagrange multiplier Kategorie: 
Level 3 Mechanik
Im Allgemeinen tritt der Begriff bei wikipedia: Lagrange-Multiplikator im Bereich von Optimierungs-Algorithmen auf.
Simulation
Im Bereich der FEM-Simulation der Strukturmechanik ist der Lagrange-Multiplikator eine Methode zur Berücksichtigung von Kontaktbedingungen zwischen Teilen des Modells (siehe auch Kontakt und Kontakt: Grundlagen). Dabei werden bei Berührung am Kontakt Beiträge im Lastvektor eingefügt. Der geschlossene Kontakt wird damit durch die entsprechenden Kontaktkräfte zwischen den Teilen des Modells simuliert. Diese Kräfte werden auf der Grundlage der Eindringung am Kontakt bei der vorangegangenen Gleichgewichtsiteration bestimmt.
Es ist üblich, eine geringe Eindringung in Kauf zu nehmen und daraus die Kontaktkräfte abzuleiten. Als Grenzfall kann theoretisch die Methode so eingestellt werden, dass Kontaktkräfte übertragen werden, auch ohne dass eine Eindringung vorliegt. Damit kann also ein "perfekter", unendlich steifer Kontakt simuliert werden.
Beim Übergang von offenem zu geschlossenem Kontakt müssen die Kräfte so bestimmt werden, dass nicht sofort bei der nächsten Iteration die Kontaktseiten "auseinander fliegen". Dann ergibt sich bei der Lösung eine Art Flattern oder Klappern (chattering), also eine Folge von Gleichgewichtsiterationen mit jeweils alternierenden Residuum-Werten.
Ein Vorteil des Lagrange-Multiplikators besteht darin, dass keine Neubildung der Gesamt-Steifigkeitsmatrix erforderlich ist und somit Rechenzeit eingespart wird. Es ergeben sich "nur" Beiträge im Lastvektor auf der rechten Seite des Gleichungssystems und damit eine schnelle Lösung. Ein Nachteil besteht darin, dass mehr Gleichgewichtsiterationen notwendig und eine relativ langsame Konvergenz zu erwarten sind.
Sonstige Begriffe
Es sind auch die Bezeichnungen "normal Lagrange method" oder "pure Lagrange method" üblich.
Eine Alternative zum Lagrange-Muliplikator ist die Verwendung von Penalty-Faktoren oder die Augmented-Lagrange-Methode.
