Plastizität Beispiel
Aus ESOCAETWIKIPLUS
Kategorie: 
Level 3 Material Mechanik
Das hier vorgestellte Beispiel betrifft
Diese Begriffe sind für die Strukturmechanik zutreffend.
Das hier dargestellte Beispiel einer Materialnichtlinearität ist typisch für Stahl. Auch andere metallische Werkstoffe verhalten sich ähnlich. Hier wird erläutert, wie eine solche Materialnichtlinearität in der Simulation abgebildet wird und welche Zusammenhänge mit den Begriffen Dehnung, Spannung, Kraft bestehen.
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Das Beispiel
Ein Beispiel für das Stoffgesetz (Materialgesetz) "Bilinear, kinematische Verfestigung" ist hier als Bildfolge gezeigt.
Als Bauteil wird eine langgestreckte Materialprobe zugrundegelegt. In der Abbildung rechts ist in jedem Teilbild oben die Materialprobe gezeigt.
Teilbild 1
In Teilbild 1 ist die Probe dargestellt, an deren Enden zunächst eine Zugkraft wirkt. Diese Kraft ist als roter Pfeil eingezeichnet. Die Probe wird dadurch gelängt. Gegenüber der (matt dargestellten) Ausgangsform ist die Längung in Richtung der Zugkraft zu erkennen. Gleichzeitig tritt eine Querkontraktion auf, die Probe wird quer zur Zugkraft schmaler. In dem Diagramm unter der Skizze der Probe sind die jeweiligen Dehnungen und Spannungen in der Probe bis zum aktuellen Belastungszustand dargestellt. Es ist üblich, für solche Darstellungen
- als Dehnung eine Vergleichsdehnung (die sich aus den 6 Komponenten der Dehnung im 3-dimensionalen Modell des Materials ergibt; hier in dieser langgestreckten Probe mit der Zugkraft in Längsrichtung wird nur die Längsdehnung betrachtet) und
- als Spannung eine Vergleichsspannung (die sich aus den 6 Komponenten der Spannung im 3-dimensionalen Modell des Materials ergibt; hier in dieser langgestreckten Probe mit der Zugkraft in Längsrichtung ist die Längsspannung bestimmend)
aufzutragen. Quer zur Probe und zur Längskraft tritt eine Dehnung auf, die in der Skizze der Probe erkennbar ist (die Probe wird etwas schmaler oder breiter, diese Anteile sind hier nicht so interessant). In dieser Richtung quer zur Probe und zur Längskraft gibt es hier keine Spannung.
Zunächst steigt die Dehnung und die Spannung proportional an. Das Verhältnis dieser beiden Werte ist dabei durch den Elastizitätsmodul gegeben. Dies ist der lineare Bereich.
Nach einem Knick ändert sich der Funktionsverlauf. Der Knickpunkt ist durch den elastischen Grenzwert der Spannung gegeben. Der Funktionsverlauf folgt einer anderen linearen Funktion, deren Steigung wird als Tangentenmodul bezeichnet. Hier von einem bilinearen Verlauf gesprochen, es liegt damit eine Nichtlinearität vor.
Teilbild 2
Die Zugkraft wird weiter gesteigert (der rote Pfeil wird länger). Die Dehnung steigt deutlich an. Die Spannung nimmt ebenfalls zu, allerdings relativ wenig, weil der Tangentenmodul (also die Steigung des zweiten Funktionsabschnittes) gering ist (im Vergleich zur Steigung des ersten Funktionsabschnittes).
Schon beim Beginn des zweiten Kurvenabschnitts würde man beim Ziehen den Eindruck haben, dass die Probe weicher würde. Besonders im Fall eines Stoffgesetzes mit einem Tangentenmodul von Null (dann verläuft der zweite Kurvenabschnitt horizontal, das wird dann ideal-plastisch genannt) würde die Probe bei gleicher Zugkraft länger und immer länger werden. Ein solches Verhalten ist dann nur sinnvoll mit einer weggesteuerten Belastung zu erreichen (zum Beispiel einem Gewinde, das man weiter und weiter dreht).
Teilbild 3
Hier wurde die Zugkraft verringert bis zum Wert Null. Die Verringerung der Kraft ergibt in dem Diagramm einen Funktionsabschnitt, der parallel zum ersten Funktionsabschnitt (Elastzitätsmodul) bis zur x-Achse verläuft. Es wirkt hier in diesem Zustand also keine Kraft an der Probe (Kraft und Spannung sind Null). Die Skizze der Probe und das Diagramm zeigen, dass trotzdem eine bleibende Dehnung vorhanden ist (Plastizität).
Im praktischen Versuch hat man die Belastung reduziert und schließlich auf Null verringert. Es greift also keine äußere Last an, und trotzdem ist die Probe länger als im Ausgangszustand. Diese bleibende Dehnung ist typisch für Plastizität. (Ein nichtlineares Material, das keine bleibende Dehnung aufweist und wieder in den Ausgangszustand zurückgeht, ist nichtlinear-elastisch.)
Hierbei ist zu beachten, dass in diesem entlasteten Zustand keine Spannung vorhanden ist, man sollte hierbei nicht von einem Eigenspannungszustand sprechen.
Teilbild 4
Nun wird eine Druckkraft aufgebracht, der rote Pfeil dreht sich um. Dadurch entsteht eine Druckspannung, im Diagramm nach unten aufzutragen. Die Dehnungen verändern sich, von dem bleibend gedehnten Zustand in Teilbild 3 ausgehend, zunächst langsam parallel zum ersten Funktionsabschnitt, bis wieder ein Knickpunkt erreicht wird. Die Länge des Abschnittes der Funktion, der parallel zum ersten Funktionsabschnitt verläuft, ist bestimmt durch das Modell der Verfestigung. Hier wird der Funktionsverlauf gezeigt bis zu dem Zustand, bei dem die Druckkraft gerade die Probe wieder auf die ursprüngliche Länge zurück gedrückt hat. In diesem Zustand liegt also wieder die Ausgangslänge der Probe vor, aber trotzdem eine nennenswerte Spannung im Material.
Bei genauerer Untersuchung stellt man in diesem Zustand fest, dass unter der Wirkung der Druckkraft eine Spannung in Längsrichtung (hier eine Druckspannung) vorliegt. Damit liegt auch eine Längsdehnung vor,
- die über den Elastizitätsmodul proportional zur Spannung ist und als elastischer Dehnungsanteil bezeichnet werden sollte und
- die zusammen mit dem plastischen Dehnungsanteil (aus dem vorher durchlaufenen Lastablauf) eine Längenänderung von Null ergibt.
Teilbild 5
Hier wird die Druckkraft weiter gesteigert. Die Probe wird gegenüber der ursprünglichen Abmessung (die gerade vorher erreicht war) kürzer. Das Verhältnis der Dehnung zur Spannung ist durch den Tangentenmodul gegeben.
Teilbild 6
Jetzt wird wieder die Kraft reduziert bis zu Null. Die Probe wird wieder etwas "entspannt", also gegenüber der reduzierten Länge wieder etwas länger. Aber selbst bei verschwindender Kraft (also Kraft gleich Null) erreicht sie nicht die ursprünglichen Länge. Es bleibt eine bleibende (plastische) Längenänderung. Dies ist die plastische Dehnung in diesem Zustand.
Was ist das Wesentliche hieran?
Sobald die elastische Grenze überschritten wird, ist damit zu rechnen, dass sich eine bleibende Dehnung einstellt (Plastizität).
Es können dann Zustände auftreten, bei denen
- eine äußere Kraft (und damit eine Spannung), aber keine Längenänderung (Summe aller Dehnungen) (das ist ein vorgespannter Zustand, vergl. Teilbild 4) oder
- eine Längenänderung, aber keine äußere Kraft (das ist ein plastisch verformter Zustand, vergl. Teilbild 3 oder 6)
vorliegen.
