Ebener Spannungszustand
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: plane stress condition Kategorie: 
Level 2 Mechanik
Ein ebener Spannungszustand in einem ebenen Element liegt dann vor, wenn ein 3-dimensionales Bauteil in zwei
Raumrichtungen Spannungen aufweist, in der dritten Raumrichtung jedoch keine Spannungen auftreten.
Die Bedingung des ebenen Spannungszustandes liegt zum Beispiel vor
- an freien Oberflächen und Rändern von Strukturen,
- bei flachen Rippen (wie rechts als Verrippung eines Mastfußes skizziert, oder Blattwurzeln von Bäumen),
- ...
Diese Strukturen sind flächig dünnwandig, sie nehmen Lasten in der Ebene der Rippe auf. Der ebene Spannungszustand ist dadurch gegeben, dass die Lasten in der Ebene zu Dehnungen in dieser Ebene und auch entsprechend zu Spannungen führen. In der Richtung normal zur Ebene der Rippe treten Dehnungen durch die Querkontraktion auf, es entstehen aber keine Spannungen normal zur Ebene, weil keine Zwängung oder Festhaltung vorliegt. Das Material kann sich normal zur Ebene der Rippe frei ausdehnen. Es ist also grundsätzlich bei einem ebenen Spannungszustand ein dreidimensionaler Dehnungszustand gegeben.
Der ebene Spannungszustand liegt in einem unendlich dünnen Blech vor. In der Praxis ist diese Bedingung umso weniger zutreffend, je dicker das Blech ist.
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Simulation
Durch die Annahme, dass ein ebener Spannungszustand vorliegt, kann man ein 3-dimensionales Bauteil mit einem 2-dimensionalen Modell simulieren. Das Modell umfasst dann die Fläche des Schnittes. Bei der Diskretisierung werden ebene Elemente ausgewählt und auf "ebener Spannungszustand" (plane stress) eingestellt. In den Element-Ansatzfunktionen wird der ebene Spannungszustand berücksichtigt. Es ergeben sich ebene Verschiebungen und ebene Spannungen, aber 3-dimensionale Dehnungen. Dies ergibt eine deutliche Reduktion des Modellierungs- und Berechnungsaufwandes.
Das Modell repräsentiert dann einen Abschnitt des Bauteils, der in der 3. Dimension "1" lang ist (also 1 [m], wenn Sie mit der Längeneinheit [m] rechnen, oder 1 [mm], wenn Sie mit der Längeneinheit [mm] rechnen). Dies sollte für Lasten beachtet werden.
Zahn eines Stirnrades
In der Abbildung rechts ist ein Stirnrad eines Getriebes zu sehen. Die Zähne sind gerade (Geradverzahnung). Beim Eingriff der Zähne der Gegenseite wirkt die Kraft, die zwischen den Zähnen übertragen wird, (theoretisch) entlang einer Linie auf den Zahn und erzeugt im Zahn im wesentlichen eine Biegespannung und eine Schubspannung. In der Mitte und am Ende des Zahnes liegen besondere Bedingungen vor: in der Mitte (nahezu) ein ebener Dehnungszustand und am Ende ein ebener Spannungszustand.
Der ebene Spannungszustand am Ende ergibt sich dadurch, dass die Seitenfläche am Ende des Zahnes frei liegt, also "nichts" angrenzt und damit normal zur Fläche keine Spannung vorliegen kann. Es können also nur Spannungen in der Ebene der Fläche vorhanden sein. Dies ist ein ebener Spannungszustand.
Die Bedingungen am Ende des Zahnes können mit einem FEM-Modell simuliert werden, das ebene Elemente enthält. Das Verhalten dieser Elemente muss dann auf "ebener Spannungszustand" (plane stress) eingestellt werden.
Rippe des Mastfußes
In einer Simulation der Rippe des Mastfußes können ebene Elemente (Scheibenelemente in der Ebene) verwendet werden, wenn die Rippe in der Abbildung oben – und zwar nur die Rippe für sich – zu berechnen ist. Dann wird nur das Verhalten in der an der Rippenfläche orientierten x-y-Ebene untersucht.
Wenn demgegenüber die benachbarten Bauteile – also der Mastfuß selber und die anderen Rippen – mit im Modell enthalten sein sollen, liegt ein 3-dimensionales Bauteil vor, für das Schalenelemente verwendet werden sollten.
Sonstige Begriffe
Sonstige besondere Bedingungen, die eine solche Reduktion auf ein 2-dimensionales Modell erlauben, sind der ebene Dehnungszustand und Axisymmetrie.
