Materialnichtlinearität Mechanik
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: material nonlinearity structural mechanics Kategorie: 
Level 2 Material Mechanik
Hier werden Materialnichtlinearitäten in der Strukturmechanik beschrieben.
Bei den Materialdaten in der Strukturmechanik werden im wesentlichen die linearen Daten aufgelistet.
Inhaltsverzeichnis |
Simulation
Eine Materialnichtlinearität in der Strukturmechanik ist eine nichtlineare Abhängigkeit der Spannungen von den Dehnungen.
- Für manche Werkstoffe ist eine nichtlinear-elastische Abhängigkeit angemessen, aber
- zusätzlich wird meistens bei Plastizität eine unterschiedliche Be- und Entlastungsfunktion einbezogen.
- Und bei Kriechen wird eine Zeitabhängigkeit berücksichtigt.
Hier bei diesen grundlegenden Hinweisen sind in den Diagrammen als Spannung und als Dehnung jeweils die von-Mises-Vergleichswerte gemeint. Die Komponenten von Spannung und Dehnung sind also jeweils zu einem skalaren Wert zusammengefasst worden.
Die Grundlage der Abhängigkeit der Spannungen von den Dehnungen ist eine lineare Beziehung zwischen Spannung und Dehnung über den Elastizitätsmodul.
Eine nichtlineare Beziehung zwischen Spannung und Dehnung setzt sich aus einem linearen Anfangsintervall und einem davon abweichenden nichtlinearen weiteren Verlauf der Funktion zusammen. Bei metallischen Werkstoffen (Stahl,..) werden oft die in der Abbildung rechts genannten Begriffe verwendet:
- Streckgrenze oder Dehngrenze für die Spannung, die die elastische Grenze darstellt,
- Zugfestigkeit für den Spannungs-Maximalwert der Funktion und
- Bruchdehnung für die Dehnung am Ende der Funktion.
Praktische Hinweise zur Vorgehensweise bei der Simulation
Wie sollte eine Materialnichtlinearität in der Strukturmechanik berücksichtigt werden?
Schritt 1
Wollen Sie vielleicht doch elastisch rechnen, weil die Regelwerke oder der Nachweisweg das vorsehen? In diesem Fall wird der Dateneingabe-Aufwand für Sie und der Rechen-Aufwand für den Computer sehr viel geringer sein.
Schritt 2
Eine einfache nichtlineare Spannungs-Dehnungs-Funktion ist hier rechts in der Abbildung gezeigt. Dies ist eine bilineare Funktion mit einem Tangentenmodul ET>0. Eine solche Funktion ist oftmals durchaus praxisgerecht. Die Abbildung rechts als Beispiel zeigt die elastische Grenze (hier als Streckgrenze markiert) und den Maximalwert (hier als Zugfestigkeit markiert) im Vergleich zu einem Beispiel-Verlauf aus der Praxis. Für die Simulation ist im allgemeinen der Bereich der Dehnungen bis etwa 1% oder 5% wichtig, nicht jedoch der Bereich bei größeren Dehnungen oder jenseits der Zugfestigkeit.
Warum Tangentenmodul ET>0? Damit kann das Material mit seiner Tragfähigkeit bis zur Zugfestigkeit simuliert werden. Insbesondere wenn die Spannung einer äußeren Last das Gleichgewicht hält (die Spannung dann als primäre Spannung anzusehen ist), kann damit das Bauteilverhalten realistisch simuliert werden.
Zusätzlich werden Sie über Plastizität - also das Verhalten des Materials bei Entlastung - entscheiden müssen. Dies wird meistens von der Software verlangt, auch wenn Sie nur eine Belastung simulieren wollen. Vorschlag: wählen Sie kinematische Verfestigung.
Schritt 3
Eine weitere einfache nichtlineare Spannungs-Dehnungs-Funktion ist eine bilineare Funktion mit einem Tangentenmodul ET=0. Dieser Schritt kann als Variante von Schritt 2 angesehen werden. In Hinsicht auf die numerische Lösung stellt die Verwendung von Tangentenmodul ET=0 eine Grenze dar, negative Werte sind nicht empfohlen (Konvergenz).
Durch diese Spannungs-Dehnungs-Funktion können Sie konservative - auf der sicheren Seite liegende - Ergebnisse bestimmen.
Für das Tragverhalten des Bauteils folgt damit, dass Bereiche, die höhere Spannungen als die elastische Grenze erfahren, nicht weiter mittragen können. Ein Seil oder eine Zugstrebe würde damit die Grenze des Tragverhaltens erreichen, die Last kann nicht weiter gesteigert werden.
Im technischen Simulations-Alltag ist eine solche Spannungs-Dehnungs-Funktion durchaus sinnvoll, weil
- primäre Spannungen (die einer äußeren Last das Gleichgewicht halten) immer mit einer Sicherheit unterhalb der elastischen Grenze bleiben und
- sekundäre Spannungen (die aus Zwängungen innerhalb des Bauteils resultieren) sich selbst begrenzen, für sie ist die Dehnung bedeutend.
Schritt 4
Bei hohen Genauigkeitsanforderungen ist es sinnvoll, eine multilineare Spannungs-Dehnungs-Funktion zu verwenden. In der Abbildung rechts ist erkennbar, dass damit eine gute Näherung für die gemessene Funktion erreichbar ist.
Die Steigungen der Funktionsabschnitte müssen jeweils kleiner oder gleich dem Elastizitätsmodul (also der Steigung des linearen Anfangs-Abschnittes) sein. Negative Werte sind nicht empfohlen (Konvergenz).
Stoffgesetz
Für die numerische Simulation werden zahlreiche Effekte von realem Material idealisiert und durch Annahmen abgedeckt. Die Gesamtheit dieser Annahmen wird das Stoffgesetz (Materialgesetz) genannt.
Es ist üblich, für folgende Materialien die angegebenen Stoffgesetze zu verwenden:
- Stahl (duktil): bilinear oder multilinear, kinematische Verfestigung
- Stahl (spröde): bilinear oder multilinear, isotrope Verfestigung
- Gussstahl, Gusseisen (Cast iron): Cast-Iron-Plastizität
- NE-Metalle: bilinear oder multilinear
- Gummi: Mooney-Rivlin
- Beton: Mohr-Coulomb
- Formgedächtnis-Legierungen
- ...: ...
Materialdaten
Im technischen Alltag wird oftmals elastisches Materialverhalten für die Simulation eingesetzt, weil die Bewertung nach vielen Regelwerken dies zugrunde legt. Solche Nachweisberechnungen gehen damit von konservativen Annahmen aus.
Wenn ein möglichst realitätsnahes Ergebnis gesucht ist (Best estimate), ist es oft ausreichend, den Bereich des Materialverhaltens jenseits der Streckgrenze angenähert abzubilden, weil oft nur Dehnungen von einigen % auftreten. Eine Simulation, bei der Werte bis zur Zugfestigkeit auftreten, tritt im technischen Alltag kaum auf.
Aus der Praxis
Elastizitätsmodul und Steigung der Spannungs-Dehnungs-Funktion
Die Dateneingabe für ein Materialgesetz erfolgt meistens über
- den Elastizitätsmodul,
- Wertepaare für Spannung und Dehnung und
- die Angabe für das Verfestigungsverhalten wie zum Beispiel "kinematische Verfestigung".
Die numerische Lösung erfordert, dass der Elastizitätsmodul und die Steigung des ersten Kurvenabschnittes - definiert über das erste Wertepaar von Spannung und Dehnung - zusammen passen (Elastizitätsmodul > Steigung oder Elastizitätsmodul = Steigung). Wenn diese Werte auch noch von den Temperaturen abhängig sind, kann dies zu Fehlermeldungen des FEM-Programms führen, die schwer interpretierbar sind. Beispiel: für den Elastizitätsmodul sind 10 Werte für verschiedene Temperaturen gegeben. Für die Spannungs-Dehnungs-Funktion sind Verläufe für 4 verschiedene Temperaturen gegeben. Dann werden intern im Programm durch Interpolationen Zwischenwerte erzeugt. Diese müssen dann ebenso die vorher genannten Relationen erfüllen.
Problem: Überschreitung der elastischen Grenze in der Simulation
Bei der Auswertung werden die Ergebnisgrößen von Simulationen mit Materialnichtlinearität von den Gausspunkten auf die Eckknoten des Elementes übertragen. Diese Übertragung wird im allgemeinen
- als Extrapolation auf die Eckknoten ausgeführt, wenn für alle Gausspunkte des Elementes lineares (elastisches) Verhalten festgestellt wird, und
- als Kopieren (also direktes Transferieren) auf die Eckknoten ausgeführt, wenn einer der Gausspunkte nichtlinear (plastisch) wurde (in diesem Fall ist eine Extrapolation nicht mehr gültig).
Im elastischen Fall kann bei der Extrapolation eine höhere Vergleichsspannung als der elastische Grenzwert auftreten (wie in der Abbildung rechts im Detailbild skizziert mit dem Grenzwert σy). Theoretisch dürfte aber bei einer Plastizität ohne Verfestigung (ideal plastisch) kein höherer Wert auftreten. Wenn man also in einer Darstellung der FEM-Ergebnisse eine höhere Vergleichsspannung als den Grenzwert findet, so muss das betreffende Element im elastischen Zustand sein (dabei wird eine Extrapolation noch als zulässig angesehen). In diesem Fall kann die Netzdichte eventuell fragwürdig sein, die Überschreitung wird bei kleineren Elementabmessungen abnehmen.
Ein Check in einem solchen Fall, bei dem die Vergleichsspannungen höher als der Grenzwert sind, ist dadurch möglich, dass man sich die plastischen Dehnungen ansieht. Alle Komponenten der plastischen Dehnung sollten in diesem Fall komplett Null sein. Damit ist dann der Fall klar (elastisch, extrapoliert) und kann entsprechend kommentiert werden.
Eine zweite Möglichkeit besteht darin, dass man für das gesamte Modell vorschreibt, dass die Ergebnisse immer von den Gausspunkten zu den Knoten kopiert werden, also auch bei Elastizität. Da eine Extrapolation dann nicht mehr stattfindet, kann auch keine Spannung mehr größer als der vorgegebene Grenzwert sein.
Sonstige Begriffe
Hier finden Sie ein Beispiel, in dem die wesentlichen Anteile der Dehnung dargestellt werden.
Bei anderen Stahlwerkstoffen und anderen Metallen, bei denen keine ausgeprägte Streckgrenze erkennbar ist, wird entsprechend als Grenze des elastischen Materialverhaltens auch die Dehngrenze verwendet.
Die Zugfestigkeit ist die höchste Spannung, die das Material aufnehmen kann.
Selbststudium
In dem Beispiel für Plastizität und Hill-Anisotropie finden Sie eine Anwendung der FEM mit Materialnichtlinearität, Plastizität, Anisotropie und Hill-Anisotropie.
