Große Dehnungen

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engl: large strain          Kategorie: Level 3 Mechanik

Große Dehnungen sind große relative Längenänderungen der Elemente. Während lineare Simulationen von kleinen Dehnungen ausgehen und auch bei einer Geometrienichtlinearität (Theorie II. Ordnung) nur kleine Dehnungen auftreten, führen große Dehnungen zu einer Nichtlinearität der Berechnung. Zugehörige Prozesse sind zum Beispiel das Umformen von metallischen Werkstoffen oder das Deformationsverhalten von gummiartigen Materialien.

Große Dehnungen können bei Berechnungen der Strukturmechanik auftreten. Sie erfordern bei der numerischen Abarbeitung der Lösung der FEM besondere Beziehungen zwischen den Dehnungen und den Ansatzfunktionen der Elemente.

Meistens wird die Berücksichtigung von großen Dehnungen aktiviert, wenn Geometrienichtlinearität (Theorie II. Ordnung) eingeschaltet wird. Dies ist vom jeweiligen FEM-Programm oder auch vom gewählten Element-Typ abhängig.

Bei großen Dehnungen wird davon ausgegangen, dass es für die Dehnungsänderung gleichgültig sein sollte, ob eine wesentliche Vordehnung existiert oder nicht. Für den Dehnungszuwachs wird die Längenänderung daher auf die aktuelle Länge bezogen. Durch Integrieren ergibt sich ein logarithmisches Dehnungsmaß (wie der "Umformgrad"). Der Unterschied ist besonders im Bereich von Druckspannungen auffällig, wenn das Bauteil kürzer wird. Wenn die lineare Dehnung (auch "Ingenieurdehnung" genannt) gegen -1 geht, geht die logarithmische Dehnung gegen -unendlich. In diesem Grenzfall würde die Ingenieurdehnung ausdrücken, dass die Längenänderung gleich "minus Ausgangslänge" ist, das Bauteil demnach die Länge Null hätte, obwohl es noch ein Volumen hat.

Für den Anwender eines Simulationsprogramms ist von Bedeutung, das verwendete Dehnmaß und das zugeordnete Spannungsmaß zu kennen, weil Spannungs-Dehnungs-Funktionen in der Regel passend zur verwendeten Theorie eingegeben werden müssen. Zur logarithmischen ("Hencky"-) Dehnung gehört die "Cauchy-Spannung". Die Cauchy-Spannung ergibt sich eindimensional aus "Kraft durch Fläche im verformten Zustand" und wird daher auch als "wahre" Spannung bezeichnet. Große Dehnungen und große Verdrehungen werden kombiniert durch Anwendung eines logarithmischen Maßes auf die Green'schen Verzerrungen oder durch Summation von Inkrementen im mitdrehenden Bezugssystem.

Bei der Berechnung mit Finiten Elementen treten bei großen Dehnungen leicht starke Elementverzerrungen oder -deformationen auf, die zur Ergebnisverschlechterung und zu Konvergenzproblemen führen können. Manchmal kann man dies durch eine Vernetzung ausgleichen, die bereits vorher auf die zu erwartende Verzerrung abgestimmt ist. Ansonsten helfen Techniken wie das Rezoning (Glattziehen des Element-Netzes bei Beibehaltung des topologischen Zusammenhanges) oder das Remeshing (Neuvernetzung auf der Basis der verformten Geometrie).

Sonstige Begriffe

Sonstige Begriffe der Geometrienichtlinearitäten sind Große Verdrehungen, Stress stiffening.

Literatur

Zu diesem Thema empfehlen wir das Buch von Rust(2011).