Frequenzganganalyse Theorie
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: harmonic response analysis Kategorie: Level 3 Theorie Mechanik
Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia:Frequenzgang
Hier werden Grundlagen zur Frequenzganganalyse in der Strukturdynamik dargestellt.
Grundlagen
Im technischen Alltag treten häufig periodische Lasten auf. Jede periodische Funktion kann in eine Reihe von Sinus- und Cosinus-Funktionen (harmonische Schwingungen) zerlegt werden. Oft sind die auftretenden Lasten selbst schon harmonisch (zum Beispiel Fliehkräfte infolge von Unwuchten oder einige der Erregerkräfte an Kolbenmotoren).
Für lineare Strukturen gilt, dass sie bei einer langanhaltenden harmonischen Belastung (mit konstanter Amplitude und Frequenz) im stationären Zustand ebenso harmonisch mit der gleichen Frequenz schwingen.
In diesen Fällen kann die Frequenzganganalyse angewendet werden.
Die grundlegende Bewegungsgleichung lautet
Die Frequenzganganalyse ist anwendbar, wenn die Lastfunktion F(t) harmonisch ist mit konstanter Amplitude, Phase und Frequenz. Dann kann geschrieben werden
mit
- Fmax Kraftamplitude
- Ψ Phasenwinkel der Kraft
- Fr Realteil, Cosinusanteil der Kraft ( bei Ωt = 0 )
- Fi Imaginärteil, Sinusanteil der Kraft ( bei Ωt = -π/2 )
Der Imaginärteil beschreibt dabei den Zustand bei um -90° gedrehtem Phasenwinkel, also in der Zeit um eine viertel Periodendauer versetzt.
Bei einer linearen Struktur werden sich die Verschiebungen auch sinusförmig mit der gleichen Frequenz Ω ändern
mit
- umax Verschiebungsamplitude
- φ Phasenwinkel der Verschiebung
- ur Realteil, Cosinusanteil der Verschiebung ( bei Ωt = 0 )
- ui Imaginärteil, Sinusanteil der Verschiebung ( bei Ωt = -π/2 )
Werden die Beziehungen für F(t) und u(t) in die Bewegungsgleichung eingesetzt, so ergibt sich nach Koeffizientenvergleich
Aus den Matrizen M, C und K kann eine äquivalente Steifigkeitsmatrix gebildet werden werden
Damit ergibt sich ein lineares komplexes Gleichungssystem für die unbekannten Verschiebungen
Diese Gleichung ergibt für ein FEM-Modell mit vielen Freiheitsgraden ein lineares Gleichungssystem, das im wesentlichen demjenigen einer statischen strukturmechanischen Berechnung entspricht. Der Unterschied besteht darin, dass zusätzlich zu den realen Freiheitsgraden und Lasten noch imaginäre Freiheitsgrade und Lasten enthalten sind.
Verschiebungsverlauf
Für jeden gegebenen Wert der Erregerfrequenz Ω kann damit ein Satz von komplexen Verschiebungen berechnet werden. Da Keq eine Funktion von Ω ist, muss sie für jede Frequenz neu aufgestellt und zur Gleichungsauflösung faktorisiert werden.
Wenn keine Dämpfung vorliegt (C=0) und die Belastungen nicht komplex sind (Fi = ui = 0), dann ist die Verschiebungslösung rein reell. Ansonsten ist die Lösung komplex und kann in zwei Formen dargestellt werden
- mit Real- und Imaginärteil: das Ergebnis wird dann als ur und ui (wie berechnet) dargestellt, oder
- Amplitude und Phasenwinkel: das Ergebnis wird dann als umax und j dargestellt mit
Die charakteristischen Größen der Schwingung sind hierbei
- die Periodendauer T
- die Kreisfrequenz Ω
- und der Phasenwinkel φ
Im gedämpften Fall haben die Verschiebungen eine Phasendifferenz zur Belastungsfunktion.
Weiterführende Informationen
Ein weiterführendes Seminar speziell hierzu finden Sie unter "Wissen" auf der Homepage von CADFEM bei "Modalbasierte lineare Dynamik".