Analogie Diffusion

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engl: diffusion          Kategorie: Level 3 Theorie Physik

Für die Simulation von Diffusion kann die Analogie der Potentialfelder genutzt werden. Dazu kann der im Folgenden beschriebene Zusammenhang zwischen dem Temperaturfeld und der Diffusion zum "Übersetzen" verwendet werden.

Analogie: Diffusion

Bei der Diffusion wird das Verhalten von Flüssigkeitsbereichen mit unterschiedlichen Konzentrationen untersucht. Vorgänge dieser Art sind zum Beispiel in der Zellbiologie, bei der Gasdiffusion in Filtern oder beim Trocknen von Holz zu untersuchen. Die zugrundeliegende Differentialgleichung kann geschrieben werden als

mit

• C = Konzentration der Flüssigkeit
• D = Diffusionskoeffizient

Diese Gleichung ist als das 2. Fick'sche Gesetz bekannt. Die dargestellte Gleichung enthält durch die zeitliche Ableitung der Konzentration auf der rechten Seite die Möglichkeit, auch transiente Diffusionsvorgänge wiederzugeben.

Bei Diffusionsproblemen ist vielfach noch zusätzlich eine Größe von Interesse, die bei einer numerischen Lösung aus der berechneten Konzentrationsverteilung (Potentialverteilung) abgeleitet werden kann. Dies ist der Massenstrom oder die Diffusionsmenge J, sowie nach Division durch die durchströmte Querschnittsfläche die Massenstromdichte J / A, die sich nach dem 1. Fick'schen Gesetz ergibt zu

Es ist die Analogie erkennbar zur Wärmestromdichte (dem negativen Gradienten der Temperatur, multipliziert mit der Wärmeleitfähigkeit) in einer Temperaturfeldberechnung. Da bei der Diffusion im allgemeinen nur Ausgleichsvorgänge zwischen Bereichen unterschiedlicher Konzentration von Interesse sind, wurde hier die Differentialgleichung genannt, die keine Quellterme (Zu- oder Abfuhr) auf der rechten Seite enthält. Statt dessen wurde der zeitabhängige Ausdruck genannt, mit dem ein transienter Ausgleichsvorgang beschrieben werden kann.

Beispiel

In einem Weinfass aus Holz ist Wein gelagert. Durch die Fasswand verdunstet der Wein langsam im Laufe der Zeit. Es ist zu berechnen, wieviel Wein im Laufe der Jahre dadurch verloren geht.

Das Fass hat einen Durchmesser von 1 m und eine Höhe von 1,6 m. Das Fass ist von Luft umgeben.

Die wesentlichen Materialwerte sind hier die Diffusionskoeffizienten. Diese Werte sind hier angenommen zu

• D_L = 1.833*10^-10 [kg/(m²s)] in Luft,
• D_H = 4.583*10^-12 [kg/(m²s)] in Holz und
• D_W = 1.*10^-20 [kg/(m²s)] in Wasser bzw. Wein.

Als Anfangs- und Randbedingungen wird gewählt

• T_{anf W} = 10 [°C] Anfangstemperatur des Wassers bzw. des Weins,
• T_{anf L} = 10 [°C] Anfangstemperatur der Luft,
• f = 0,05 [%] Anfangsfeuchte der Luft,
• p_sW = 288.68*(1.098+(T_{anf W}/100))^8.02 Sättigungsdruck von Wasserdampf und
• p_{anf L} = f * p_sW Partialdruck der Luft.

Die Abbildung rechts zeigt das FEM-Modell. Es ist mit axisymmetrischen ebenen Elementen vernetzt. Eigentlich werden Elemente für die Berechnung eines Temperaturfeldes eingesetzt, aber durch die Analogie zur Diffusion ist diese Simulation gleichwertig. Man sieht das Wasser bzw. den Wein (rot), das Fass (violett) und die umgebende Luft (blau). Außerdem sind einige weitere Randbedingungen und Hinweise zur Vorgehensweise genannt.

In der Auswertung der Ergebnisse ist hier der Füllstand des Weins im Fass im Anfangszustand und am Ende des berechneten Zeitraumes nach 60 Jahren dargestellt.

Und diese Abbildung rechts zeigt die Verteilung der Partialdrücke am Anfang und daneben am Ende eines Zeitraumes von 54 Jahren.