Bisektion

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engl: bisection          Kategorie: Level 2 Theorie

Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia:Bisektion

Simulation

Eine Bisektion bzw. Bisection ist ein Verfahren bei der iterativen Lösung einer impliziten Simulation, um Konvergenz zu erreichen.

Die numerische Lösung von Nichtlinearitäten wird für eine Last meistens nach dem Newton-Raphson-Verfahren mit einer Folge von Gleichgewichtsiterationen durchgeführt.

Bei dieser Folge wird jeweils nach einer Iteration eine Gleichgewichts-Kontrolle durchgeführt. Wenn diese Kontrolle nach mehreren Iterationen nur noch einen geringfügigen Restwert (Residuum) ergibt, ist die Lösung für diese Last konvergiert (in der nebenstehenden Skizze der grüne Pfeil bis t0) und alle aktuellen Werte dieses Zustandes gespeichert.

Danach wird mit dem nächsten Lastwert begonnen (substep bis t1). Für den neuen Lastwert wird wiederum eine Folge von Iterationen durchgeführt (Iter 1, Iter 2, ..). Auch bei dieser Folge wird jeweils nach einer Iteration eine Gleichgewichts-Kontrolle durchgeführt. Wenn diese Kontrolle nach mehreren Iterationen erkennen lässt, dass eine konvergierte Lösung nicht erreicht werden kann (hier nach Iter 6), wird die Simulation mit dem neuen Lastwert gelöscht und auf den letzten konvergierten Zustand (hier bei t0) zurück gestellt. Der nächste Lastwert war also zu "mutig", der Versuch wird zurückgenommen.

Mit einer reduzierten nächsten Last (neuer reduzierter Wert von t1) wird ein neuer Versuch gestartet und eine Folge von Iterationen begonnen. Durch die geringere Last ist es sehr viel wahrscheinlicher, dass jetzt diese neue Iterationsfolge die Konvergenz erreicht (hier nach Iter 3).

Hieran anschließend wird weitergerechnet. Meistens wird dann das ursprüngliche Ziel erreicht (hier nach Iter 3 des nächsten substeps).

Diese "Gabelung" des Berechnungsweges wird Bisection bzw. Bisektion genannt. Von der letzten konvergierten Lösung aus wird ein Versuch mit der nächsten Last gemacht, und wenn es nicht geht, wird ein neuer Versuch mit einer geringeren Last gestartet.

Nach der Bisection entspricht der Lösungsweg einem inkrementellen Newton-Raphson-Verfahren.

Für das Ausführen von Bisections/Bisektionen ist eine Zeitschritt-Automatik erforderlich. Damit kann der Zeit- bzw. Lastschritt automatisch vom Programm angepasst werden.

Tips und Tricks

Die Bisection ist ein Lösungsversuch mit einer geringeren Last. Dies kann nur funktionieren, wenn die Last skalierbar ist. NICHT funktionieren wird dies, wenn die Last einen binären oder "Ja-Nein"- oder Schalt-Charakter hat. Dazu zählt zum Beispiel

• das Löschen einer Last ("ist da" - "ist weg") oder
• das Korrigieren eines Kontaktabstandes (vorgespannte Anordnung, Presspassung).

Solche Bedingungen sind daran erkennbar, dass die Folge der Gleichgewichtsiterationen Inkremente ergibt, die dann nach der Bisection in der neuen Folge der Gleichgewichtsiterationen identisch berechnet werden und damit zeigen, dass die Bisection keine Verbesserung ergibt. Für manche dieser Ursachen sehen die Programme Möglichkeiten vor, die Schalt-Einflüsse skaliert (in kleinen Teilschritten) aufzubringen. Dabei wird dann aus dem "Löschen" ein "Reduzieren auf Null" und aus dem Vorspannen ein langsames Spannen in kleinen Schritten.

Weiterführende Informationen

Ein weiterführendes Seminar speziell hierzu finden Sie unter "Wissen" auf der Homepage von CADFEM.