Eigenwert-Beulen
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engl: eigenvalue buckling Kategorie: 
Level 2 Mechanik
Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia:Beulen
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Simulation
Eigenwert-Beulen ist ein Stabilitätsfall der Strukturmechanik. Die Simulation des Eigenwert-Beulens ist eine Möglichkeit einer Beulanalyse, die eine theoretische, ideale Lösung ergibt, die aber nicht unbedingt technisch direkt nutzbar ist.
Bei der Simulation des Eigenwert-Beulens wird die Gleichung gelöst
Hierbei sind
- [K] die Gesamtsteifigkeitsmatrix,
- λi die Eigenwerte,
- [S] die Spannungsversteifungsmatrix und
- {ψ}i die Eigenformen.
Eigenwerte sind diejenigen Lastfaktoren, bei denen die Last-Verformungs-Kurve eine horizontale Tangente aufweist. Die Eigenformen sind die Verschiebungszustände, die zu diesen Eigenwerten gehören.
Eine Simulation des Eigenwert-Beulens umfasst immer 2 Schritte:
- Schritt 1: das Bauteil wird mit einer Last (oder einer Kombination von Lasten) mit einer statischen Simulation berechnet und mit den Spannungen, die sich dabei ergeben, die Spannungsversteifungsmatrix erzeugt, und
- Schritt 2: mit der vorhandenen Gesamtsteifigkeitsmatrix und der gerade erzeugten Spannungsversteifungsmatrix erfolgt die Eigenwert-Berechnung nach der oben angegebenen Gleichung.
Das Ergebnis sind die Eigenwerte λi. Sie sind zu verstehen als diejenigen Faktoren, mit denen die Last (oder die Kombination von Lasten) multipliziert werden muss, um die Stabilitätsgrenze zu erreichen.
Die Eigenformen {ψ}i sind charakteristische Verschiebungszustände. Sie sind nur qualitativ zu verwenden, nicht aber quantitativ (das bedeutet: sie stellen jeweils ein typisches Verformungsmuster dar, nicht aber praktisch auswertbare Zahlenwerte).
Bei einem praktischen Bauteil können Eigenwerte und ihre Eigenformen bei hohen Lasten theoretische Zustände darstellen, die in der Praxis nicht auftreten können, weil bereits vorher bei geringerer Last das Bauteil versagt und seine Stabilität verliert. Ein Beispiel hierfür ist ein Knickstab, der immer bei dem ersten Eigenwert versagen wird. Höhere Eigenwerte sind aber in der numerischen Lösung enthalten. Um sie in der Praxis auftreten zu lassen, müssten zusätzliche Führungen oder Festhaltungen am Bauteil angebracht werden, damit die Form bei den höheren Lasten noch erhalten bleibt.
Lineares Beulen mit ständiger und variabler Last
Von zwei Lastanteilen ist die eine Last fest und dauernd wirkend, für die andere soll der kritische Lastfaktor bestimmt werden. Dazu müsste ein Eigenwertproblem
gelöst werden. Hierbei sind
- [K] die Gesamtsteifigkeitsmatrix,
- [S](f1) die Spannungsversteifungsmatrix des festen Lastanteils,
- λi die Eigenwerte,
- [S](f2) die Spannungsversteifungsmatrix des variablen Lastanteils und
- {ψ}i die Eigenformen.
Dies kann mit einer Simulation mit Geometrienichtlinearität berechnet werden. Das Eigenwertproblem lautet dann:
Dabei ist KT die Tangentenmatrix, die sich in
aufspalten lässt. Damit lautet das Eigenwertproblem:
Solange die Voraussetzungen für lineares Beulen erfüllt sind (lineares Verhalten bis zum Beulen) ist [Ku] = [K] und die Anfangsspannungsmatrix [Kσ] gleich der Spannungsversteifungsmatrix [S], sodass die beiden Gleichungen (1) und (2) zusammenfallen. So lange ist es auch unschädlich, geometrisch nichtlinear zu rechnen.
Was bedeuten negative Beul-Eigenwerte?
Bei der Simulation des Eigenwert-Beulens wird vorausgesetzt, dass bis zum Beulen ein lineares Verhalten vorliegt. Daraus folgt, dass die Spannungsversteifungsmatrix [S] infolge einer λ-fachen Belastung die λ-fache Spannungsversteifungsmatrix [S] ist. Daraus folgt das oben genannte Eigenwertproblem und die kritische Last
Wird die kritische Last aufgebracht, ergibt sich λ=1. Wegen der Linearität ist es aber nicht nötig, diesen Punkt iterativ zu ermitteln.
Typischerweise ergeben sich positive Eigenwerte. Der kleinste Eigenwert gehört im allgemeinen zu der maßgebenden Last bzw. Beulform. Ergeben sich infolge der Last positive und negative Spannungen, würde ein positives λ bedeuten, dass Beulen infolge der negativen Spannungen bei der λ-fachen Last auftritt. Ein negatives λ würde bedeuten, dass Beulen unter der umgedrehten Referenzlast eintritt, also infolge der Spannungen, die bei der Referenzlast positiv sind, die durch das Umdrehen der Lastrichtung aber negativ werden.
Bei einer Begleitenden Beulanalyse, die im Anschluss an eine nichtlineare Analyse auf der Basis eines Restartpunktes durchgeführt wird, wird die Tangentensteifigkeitsmatrix zugrunde gelegt. Bei einem kritischen Spannungszustand wird diese Matrix [KT] singulär, d.h. hat einen Null-Eigenwert. Dann wird λ ebenfalls 0. Dies erscheint so, als würde sich die kritische Belastung bei λ = 0 ergeben (beim linearen Beulproblem würde sich bei λ = 1 ergeben).
Ist eine Last größer als die kritische, erhält man negative Eigenwerte. Sie zeigen an, dass unterhalb des aufgebrachten Lastniveaus kritische Punkte liegen. Von besonderer Bedeutung sind dabei Verzweigungspunkte. Bei einer FE-Berechnung mit einem idealen System besteht die Gefahr, an einer solchen Verzweigung vorbei zu rechnen. Dann befindet sich das System in einem instabilen Zustand, der realistisch wahrscheinlich nicht erreicht werden kann. Ebenso kann es sein, dass eine Berechnung nicht mehr konvergiert. Ist das aufgrund einer Instabilität der Fall, liegt ein Eigenwert nahe bei 0. Die Kenntnis der zugehörigen Beulform hilft bei der Überwindung des Konvergenzproblems, weil daraus geeignete Imperfektionen gewonnen werden können. Außerdem dient ein Eigenwert nahe 0 als Beweis, dass die Nichtkonvergenz auf ein Stabilitätsproblem zurückzuführen ist. In der Beulanalyse nach einer nichtlinearen Berechnung ist die Betrachtung von negativen Eigenwerten daher wichtig.
Sonstige Begriffe
Eine Alternative zum Eigenwert-Beulen ist die Simulation mit Geometrienichtlinearität bzw. großen Verformungen. Dabei wird eine statische oder dynamische Simulation durchgeführt und schrittweise die Last erhöht. Das ist eine Simulation eines nichtlinearen Bauteils.
